Comparação da Análise de Sistemas de Segunda Ordem
Prof. Henrique Amorim — CE2
Energia Cinética
0,000 J
Energia Potencial
0,000 J
Energia Total
0,000 J
Simulação do sistema
Deslocamento $x(t)$
Análise por Transformada de Laplace
A EDO homogênea de segunda ordem que rege o sistema é:
$$m\ddot{x}(t) + c\dot{x}(t) + kx(t) = 0$$As condições iniciais (C.I.) estabelecidas são:
- Posição inicial: $x(0) = x_0$
- Velocidade inicial: $\dot{x}(0) = v_0$
1. Aplicando a Transformada de Laplace na EDO
Utilizando a propriedade da transformada da derivada, mapeamos o comportamento temporal para o domínio da frequência complexa $s$:
- $\mathcal{L}\{x(t)\} = X(s)$
- $\mathcal{L}\{\dot{x}(t)\} = sX(s) - x(0) = sX(s) - x_0$
- $\mathcal{L}\{\ddot{x}(t)\} = s^2X(s) - sx(0) - \dot{x}(0) = s^2X(s) - sx_0 - v_0$
Substituindo esses termos diretamente na EDO original:
$$m\left(s^2X(s) - sx_0 - v_0\right) + c\left(sX(s) - x_0\right) + kX(s) = 0$$2. Isolando $X(s)$ no Domínio da Frequência
Expandindo os termos para agrupar e isolar a função algébrica $X(s)$:
$$ms^2X(s) - msx_0 - mv_0 + csX(s) - cx_0 + kX(s) = 0$$Agrupando todos os componentes multiplicados por $X(s)$ e passando as condições iniciais para o segundo membro da igualdade:
$$X(s)\left(ms^2 + cs + k\right) - x_0(ms + c) - mv_0 = 0$$ $$X(s)\left(ms^2 + cs + k\right) = x_0(ms + c) + mv_0$$Isolando $X(s)$:
$$X(s) = \frac{x_0(ms + c) + mv_0}{ms^2 + cs + k}$$Para simplificar a manipulação algébrica e alcançar a forma canônica, dividimos o numerador e o denominador pela massa $m$:
$$X(s) = \frac{x_0\!\left(s + \dfrac{c}{m}\right) + v_0}{s^2 + \dfrac{c}{m}\,s + \dfrac{k}{m}}$$3. Análise dos Polos do Sistema
Para entender como o sistema se comporta ao longo do tempo, precisamos encontrar as raízes do denominador de $X(s)$, que formam a equação característica do sistema. Igualando o denominador a zero, temos:
$$s^2 + \frac{c}{m}\,s + \frac{k}{m} = 0$$3.1 Encontrando os Coeficientes para Bhaskara
Esta é uma equação do segundo grau no formato genérico $as^2 + bs + c_{const} = 0$. Comparando termo a termo, identificamos os coeficientes:
- $a = 1$
- $b = \dfrac{c}{m}$ (onde $c$ é o amortecimento mecânico)
- $c_{const} = \dfrac{k}{m}$ (onde $k$ é a rigidez da mola)
3.2 Aplicando a Fórmula de Bhaskara Modificada
Como o coeficiente $a = 1$, podemos utilizar a forma simplificada de Bhaskara para encontrar os polos $p_1$ e $p_2$:
$$p_{1,2} = -\frac{b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 - c_{const}}$$Substituindo os nossos parâmetros físicos mecânicos nesta equação:
$$p_{1,2} = -\dfrac{\,c/m\,}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\,c/m\,}{2}\right)^2 - \dfrac{k}{m}}$$ $$p_{1,2} = -\dfrac{c}{2m} \pm \sqrt{\left(\dfrac{c}{2m}\right)^2 - \dfrac{k}{m}}$$3.3 Definindo os Parâmetros Universais ($\alpha$ e $\omega_0$)
Para generalizar a equação e deixá-la independente se estamos falando de um sistema mecânico ou de um circuito elétrico, definimos os termos da equação de Bhaskara com duas grandezas fundamentais:
- Frequência de Neper ($\alpha$): Corresponde ao termo fora da raiz. Representa o fator de amortecimento absoluto do sistema. $$\alpha = \frac{b}{2} \implies \alpha = \frac{c}{2m}$$
- Frequência Angular de Ressonância ($\omega_0$): Também chamada de frequência natural não amortecida ($\omega_n$). Corresponde à raiz do termo constante. $$\omega_0^2 = c_{const} \implies \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$$
Substituindo $\alpha$ e $\omega_0$ de volta na equação dos polos, chegamos à forma canônica e universal:
$$p_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}$$3.4 Classificação do Tipo de Resposta
O comportamento do sistema é inteiramente ditado pelo que acontece dentro da raiz quadrada, ou seja, pela relação entre o fator de amortecimento ($\alpha$) e a frequência de ressonância ($\omega_0$).
Temos três cenários físicos e matemáticos possíveis:
| Relação Matemática | Natureza dos Polos ($p_1$, $p_2$) | Tipo de Resposta Dinâmica |
|---|---|---|
| $\alpha^2 > \omega_0^2$ | Raízes reais distintas | Resposta superamortecida |
| $\alpha^2 < \omega_0^2$ | Raízes complexas conjugadas | Resposta subamortecida |
| $\alpha^2 = \omega_0^2$ | Raízes reais e iguais | Resposta criticamente amortecida |
Exemplos Numéricos por Regime
Dados do Sistema
- Massa: $m = 1$ kg
- Amortecimento: $c = 10$ N·s/m
- Rigidez da mola: $k = 16$ N/m
- Posição inicial: $x_0 = 500$ mm
- Velocidade inicial: $v_0 = 0$ m/s
Passo 1: Cálculo dos Parâmetros Fundamentais
A partir da equação característica normalizada pela massa ($s^2 + bs + c_{const} = 0$), extraímos os coeficientes:
- $b$ (Coeficiente de $s$): $$b = \frac{c}{m} = \frac{10}{1} = 10$$
- $c_{const}$ (Termo independente): $$c_{const} = \frac{k}{m} = \frac{16}{1} = 16$$
Convertendo para as grandezas dinâmicas universais:
- Frequência de Neper ($\alpha$): $$\alpha = \frac{b}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ Np/s}$$
- $\alpha^2$: $$\alpha^2 = 5^2 = 25$$
- Frequência Angular de Ressonância quadrada ($\omega_0^2$): $$\omega_0^2 = c_{const} = 16$$
- $\omega_0$: $$\omega_0 = \sqrt{16} = 4 \text{ rad/s}$$
Classificação do Sistema: Como $\alpha^2 > \omega_0^2$ ($25 > 16$), o sistema é Superamortecido. Ele possui forte dissipação de energia e não apresentará oscilações.
Passo 2: Cálculo dos Polos ($p_1, p_2$)
Aplicamos a fórmula de Bhaskara adaptada ($p_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}$) para encontrar os polos da equação característica:
$$p_{1,2} = -5 \pm \sqrt{25 - 16}$$ $$p_{1,2} = -5 \pm \sqrt{9}$$ $$p_{1,2} = -5 \pm 3$$Dessa forma, obtemos dois polos reais, negativos e distintos:
- Polo 1: $p_1 = -5 + 3 = -2$
- Polo 2: $p_2 = -5 - 3 = -8$
Passo 3: Montagem de $X(s)$
A expressão geral no domínio de Laplace, conforme deduzido anteriormente, é:
$$X(s) = \frac{x_0\left(s + \frac{c}{m}\right) + v_0}{s^2 + \frac{c}{m}s + \frac{k}{m}}$$Substituindo as condições iniciais ($x_0 = 500$, $v_0 = 0$) e os coeficientes ($b = 10$, $c_{const} = 16$):
$$X(s) = \frac{500(s + 10) + 0}{s^2 + 10s + 16}$$Distribuindo o numerador:
$$X(s) = \frac{500s + 5000}{s^2 + 10s + 16}$$Fatorando o denominador através dos polos encontrados $(s - p_1)(s - p_2)$:
$$X(s) = \frac{500s + 5000}{(s-(-2))\,(s-(-8))}$$ $$X(s) = \frac{500s + 5000}{(s+2)\,(s+8)}$$Passo 4: Expansão em Frações Parciais
Para aplicar a transformada inversa, separamos a função em duas frações mais simples:
$$X(s) = \frac{500s + 5000}{(s+2)(s+8)} = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{s+8}$$Utilizando o método dos resíduos de Heaviside para encontrar as constantes $A$ e $B$:
Cálculo de $A$ — avaliamos no polo $s = -2$, excluindo o fator $(s+2)$ do denominador:
$$A = \left.\frac{500s + 5000}{s + 8}\right|_{s=-2} = \frac{500(-2)+5000}{-2+8} = \frac{4000}{6} = \frac{2000}{3}$$Cálculo de $B$ — avaliamos no polo $s = -8$, excluindo o fator $(s+8)$ do denominador:
$$B = \left.\frac{500s + 5000}{s + 2}\right|_{s=-8} = \frac{500(-8)+5000}{-8+2} = \frac{1000}{-6} = -\frac{500}{3}$$Substituindo $A$ e $B$ na expressão:
$$X(s) = \frac{\dfrac{2000}{3}}{s+2} - \frac{\dfrac{500}{3}}{s+8}$$Passo 5: Transformada Inversa e Equação Horária
Com as frações na forma $\dfrac{K}{s+p}$, aplicamos a transformada inversa tabelada $\left(\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{K}{s+p}\right\} = K\,e^{\,-pt}\right)$ termo a termo e chegamos à equação horária exata:
$$\boxed{x(t) = \frac{2000}{3}\,e^{-2t} - \frac{500}{3}\,e^{-8t}}$$Interpretação do Resultado
No domínio de Laplace, a variável complexa $s$ é definida como $s = \sigma + j\omega$, em que o eixo real ($\sigma$) governa o crescimento ou decaimento exponencial — medido em Np/s — e o eixo imaginário ($j\omega$) governa a componente oscilatória — medido em rad/s. No sistema superamortecido estudado, a ausência de oscilação implica que os polos possuem parte imaginária nula e residem inteiramente no eixo real; sua unidade é, portanto, puramente Np/s.
1. Distinção Conceitual: $\alpha$ (Causa) versus Polos (Efeito)
- Frequência de Neper ($\alpha$): Trata-se de uma propriedade intrínseca e global do sistema mecânico, definida como $\alpha = \dfrac{c}{2m}$. No exemplo em estudo, $\alpha = 5$ Np/s. Este parâmetro representa a capacidade média de dissipação de energia do amortecedor em condições ideais.
- Polos $p_1$ e $p_2$: Representam os modos efetivos de movimento pelos quais o sistema dissipa essa energia. Eles não são arbitrários — a fórmula de Bhaskara evidencia que $\alpha$ é, geometricamente, o ponto médio exato entre os dois polos: $$p_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}$$ Com $\alpha = 5$, a dinâmica do sistema distribui a dissipação em dois extremos complementares: um modo lento ($p_1 = -5 + 3 = -2$ Np/s) e um modo rápido ($p_2 = -5 - 3 = -8$ Np/s).
2. Interpretação Física: A Superposição das Exponenciais
Ao se liberar a massa da posição inicial $x_0 = 500$ mm, o deslocamento resultante é a superposição de duas contribuições exponenciais independentes, cada qual associada a um polo:
- Polo rápido ($p_2 = -8$ Np/s): A exponencial $e^{-8t}$ decai velozmente. Fisicamente, corresponde à fase inicial do movimento: a mola encontra-se extremamente distendida e exerce força elevada, produzindo um deslocamento inicial vigoroso em direção à posição de equilíbrio. Esta componente é praticamente nula após aproximadamente $0{,}5$ s.
- Polo lento ($p_1 = -2$ Np/s): A exponencial $e^{-2t}$ decai vagarosamente e domina a fase final do movimento. À medida que a massa se aproxima do equilíbrio, a força restauradora da mola diminui progressivamente, tornando-se insuficiente para vencer a resistência viscosa do amortecedor. A massa converge assintoticamente para o repouso.
A consistência do resultado pode ser verificada imediatamente: no instante $t = 0$, ambas as exponenciais valem 1, de modo que a equação horária retorna exatamente a posição inicial:
$$x(0) = \frac{2000}{3} \cdot 1 - \frac{500}{3} \cdot 1 = \frac{2000 - 500}{3} = \frac{1500}{3} = 500 \text{ mm} = x_0 \checkmark$$Confirmada a condição inicial, a resposta é inteiramente caracterizada por um decaimento exponencial duplo — sem qualquer componente sinusoidal — o que é a assinatura inequívoca do regime superamortecido.
O Conceito de Polo Dominante
Na teoria de controle, denomina-se polo dominante aquele cuja parte real possui menor módulo — neste caso, $p_1 = -2$ Np/s. O polo rápido ($p_2 = -8$ Np/s) torna-se desprezível em uma fração do tempo total de resposta; portanto, é o polo dominante que determina o tempo de acomodação do sistema. Em outras palavras, o sistema nunca estabilizará mais rapidamente do que sua exponencial mais lenta.
Dados do Sistema
- Massa: $m = 1$ kg
- Amortecimento: $c = 2$ N·s/m
- Rigidez da mola: $k = 65$ N/m
- Posição inicial: $x_0 = 500$ mm
- Velocidade inicial: $v_0 = 0$ m/s
Passo 1: Cálculo dos Parâmetros Fundamentais
A partir da equação característica normalizada pela massa ($s^2 + bs + c_{const} = 0$), extraímos os coeficientes:
- $b$ (Coeficiente de $s$): $$b = \frac{c}{m} = \frac{2}{1} = 2$$
- $c_{const}$ (Termo independente): $$c_{const} = \frac{k}{m} = \frac{65}{1} = 65$$
Convertendo para as grandezas dinâmicas universais:
- Frequência de Neper ($\alpha$): $$\alpha = \frac{b}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ Np/s}$$
- $\alpha^2$: $$\alpha^2 = 1^2 = 1$$
- Frequência Angular de Ressonância quadrada ($\omega_0^2$): $$\omega_0^2 = c_{const} = 65$$
- $\omega_0$: $$\omega_0 = \sqrt{65} \approx 8{,}062 \text{ rad/s}$$
Classificação do Sistema: Como $\alpha^2 < \omega_0^2$ ($1 < 65$), o sistema é Subamortecido. O discriminante de Bhaskara é negativo, o que implica polos complexos conjugados e, consequentemente, uma resposta oscilatória amortecida.
Passo 2: Cálculo dos Polos ($p_1, p_2$)
Aplicamos a fórmula dos polos $p_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}$. Com o discriminante negativo, introduzimos a frequência natural amortecida $\omega_d$, definida como:
$$\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2} = \sqrt{65 - 1} = \sqrt{64} = 8 \text{ rad/s}$$Isso permite reescrever a fórmula na forma complexa canônica $p_{1,2} = -\alpha \pm j\omega_d$:
$$p_{1,2} = -1 \pm j8$$Obtemos um par de polos complexos conjugados com parte real estritamente negativa:
- Polo 1: $p_1 = -1 + j8$
- Polo 2: $p_2 = -1 - j8$
Passo 3: Montagem de $X(s)$
A expressão geral no domínio de Laplace é:
$$X(s) = \frac{x_0\left(s + \frac{c}{m}\right) + v_0}{s^2 + \frac{c}{m}s + \frac{k}{m}}$$Substituindo as condições iniciais ($x_0 = 500$, $v_0 = 0$) e os coeficientes ($b = 2$, $c_{const} = 65$):
$$X(s) = \frac{500(s + 2) + 0}{s^2 + 2s + 65} = \frac{500s + 1000}{s^2 + 2s + 65}$$Fatorando o denominador pelos polos complexos encontrados:
$$X(s) = \frac{500s + 1000}{(s - (-1 + j8))\,(s - (-1 - j8))} = \frac{500s + 1000}{(s + 1 - j8)(s + 1 + j8)}$$Passo 4: Expansão em Frações Parciais
Etapa 1 — Frações Parciais e Cálculo dos Resíduos ($K_1$ e $K_2$):
Expressamos $X(s)$ na forma fatorada e estabelecemos a decomposição:
$$X(s) = \frac{500s + 1000}{(s - p_1)(s - p_2)} = \frac{K_1}{s - p_1} + \frac{K_2}{s - p_2}$$Pelo método dos resíduos de Heaviside:
Cálculo de $K_1$ — avaliamos no polo $s = p_1 = -1 + j8$:
$$K_1 = \left.\frac{500s + 1000}{s - p_2}\right|_{s\,=\,p_1} = \frac{500(-1 + j8) + 1000}{(-1 + j8) - (-1 - j8)}$$ $$K_1 = \frac{-500 + j4000 + 1000}{j16} = \frac{500 + j4000}{j16}$$Dividindo as partes real e imaginária pelo denominador $j16$ (usando $\tfrac{1}{j} = -j$):
$$K_1 = \frac{500}{j16} + \frac{j4000}{j16} = -j\frac{500}{16} + 250 = \mathbf{250 - j31{,}25}$$Cálculo de $K_2$: como todos os coeficientes da EDO original são reais, $K_2$ é obrigatoriamente o conjugado complexo de $K_1$:
$$K_2 = \overline{K_1} = \mathbf{250 + j31{,}25}$$Conversão para a Forma Polar ($M e^{j\theta}$):
Módulo ($M$):
$$M = \sqrt{250^2 + (31{,}25)^2} = \sqrt{62500 + 976{,}5625} = \sqrt{63476{,}56} \cong \mathbf{251{,}945}$$Fase ($\theta$) — como a parte real de $K_1$ é positiva (4.º quadrante), nenhum ajuste é necessário:
$$\theta = \arctan\!\left(\frac{-31{,}25}{250}\right) = \arctan(-0{,}125) \cong \mathbf{-7{,}125^\circ}$$Portanto, os resíduos em forma polar são:
$$K_1 = 251{,}945\,e^{-j7{,}125^\circ} \qquad K_2 = 251{,}945\,e^{+j7{,}125^\circ}$$Etapa 2 — Montagem de $X(s)$ e Transformada Inversa:
Substituindo os resíduos polares e os polos na expansão e aplicando $\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{K}{s-p}\right\} = K\,e^{\,pt}$ termo a termo:
$$X(s) = \frac{251{,}945\,e^{-j7{,}125^\circ}}{s - (-1 + j8)} + \frac{251{,}945\,e^{+j7{,}125^\circ}}{s - (-1 - j8)}$$ $$x(t) = 251{,}945\,e^{-j7{,}125^\circ}\cdot e^{(-1+j8)t} + 251{,}945\,e^{+j7{,}125^\circ}\cdot e^{(-1-j8)t}$$Etapa 3 — Manipulação Algébrica e Identidade de Euler:
Separamos o decaimento real da oscilação imaginária e colocamos os termos comuns ($251{,}945$ e $e^{-t}$) em evidência:
$$x(t) = 251{,}945\cdot e^{-t}\left(e^{-j7{,}125^\circ}\cdot e^{j8t} + e^{+j7{,}125^\circ}\cdot e^{-j8t}\right)$$Somando os expoentes de mesma base:
$$x(t) = 251{,}945\cdot e^{-t}\left(e^{\,j(8t\,-\,7{,}125^\circ)} + e^{-j(8t\,-\,7{,}125^\circ)}\right)$$Aplicando a Identidade de Euler $\left(e^{jx} + e^{-jx} = 2\cos x\right)$:
$$x(t) = 251{,}945\cdot e^{-t}\cdot 2\cos\!\left(8t - 7{,}125^\circ\right)$$Passo 5: Transformada Inversa e Equação Horária
Multiplicando o módulo pelo fator 2, chegamos à equação horária final da posição da massa:
$$\boxed{x(t) = 503{,}890\cdot e^{-t}\cdot\cos\!\left(8t - 7{,}125^\circ\right)}$$Interpretação do Resultado
No domínio de Laplace, polos complexos conjugados com parte real estritamente negativa constituem a assinatura matemática inequívoca do regime subamortecido. Ao contrário do caso superamortecido — em que os polos residem inteiramente no eixo real — aqui cada polo possui a forma $p = -\alpha \pm j\omega_d$: a parte real $\sigma = -\alpha$ governa a taxa de decaimento exponencial (em Np/s) e a parte imaginária $\omega_d$ governa a frequência de oscilação amortecida (em rad/s). A presença desta componente imaginária é o que confere ao sistema seu comportamento oscilatório.
1. Os Três Ingredientes da Resposta Subamortecida
A equação horária $x(t) = 503{,}890\cdot e^{-t}\cdot\cos(8t - 7{,}125^\circ)$ é composta por três fatores com significados físicos distintos:
- Amplitude inicial ($503{,}890$ mm): Ligeiramente superior a $x_0 = 500$ mm. Esta diferença é ditada pela fase $\phi = -7{,}125^\circ$, que introduz uma leve assimetria em $t = 0$. A consistência da solução pode ser verificada diretamente: $$x(0) = 503{,}890\cdot\cos(-7{,}125^\circ) \approx 503{,}890 \times 0{,}992 \approx 500 \text{ mm} = x_0\;\checkmark$$
- Envoltória de decaimento ($e^{-\alpha t} = e^{-t}$): Controlada por $\alpha = 1$ Np/s. Esta componente delimita a amplitude máxima da oscilação ao longo do tempo. Em comparação ao caso superamortecido ($\alpha = 5$ Np/s), o decaimento aqui é muito mais lento, permitindo que o sistema complete diversas oscilações antes de atingir o repouso.
- Oscilação amortecida ($\cos(\omega_d\, t + \phi)$): Controlada por $\omega_d = 8$ rad/s, que é a frequência à qual a massa genuinamente oscila. Note que $\omega_d = 8$ rad/s é ligeiramente inferior à frequência natural não amortecida $\omega_0 \approx 8{,}062$ rad/s — a diferença é mínima pois o amortecimento é muito fraco ($\zeta = \frac{\alpha}{\omega_0} \approx 0{,}124$).
2. A Origem da Fase $\phi = -7{,}125^\circ$ e Verificação das Condições Iniciais
O ângulo de fase não é arbitrário — ele emerge diretamente da relação entre as condições iniciais e os parâmetros dinâmicos do sistema. Com $v_0 = 0$, demonstra-se que:
$$\phi = -\arctan\!\left(\frac{\alpha}{\omega_d}\right) = -\arctan\!\left(\frac{1}{8}\right) = -\arctan(0{,}125) \approx -7{,}125^\circ$$A fase é, portanto, uma medida direta de quão dominante é o amortecimento frente à oscilação: quanto menor $\alpha/\omega_d$, mais a resposta se aproxima de um cosseno puro sem desvio de fase. A consistência da solução com ambas as condições iniciais ($x(0) \approx 500$ mm e $\dot{x}(0) = 0$) confirma a validade do resultado.
Tempo de Acomodação e Papel de $\alpha$
No regime subamortecido, como ambos os polos partilham a mesma parte real $\sigma = -\alpha = -1$ Np/s, não existe um polo dominante no sentido estrito — o tempo de acomodação é ditado diretamente por $\alpha$. Pelo critério das cinco constantes de tempo, o sistema estabiliza-se em aproximadamente $5/\alpha = 5$ s. Quanto menor $\alpha$ em relação a $\omega_0$, maior o número de oscilações visíveis antes do repouso e mais pronunciado o caráter ressonate do sistema.
Conteúdo em breve.
Energia do Indutor
0,0 μJ
Energia do Capacitor
500,0 μJ
Energia Inicial
500,0 μJ
Energia Dissipada
0,0 μJ
Tensão $v(t)$ e Corrente $i_L(t)$
Análise por Transformada de Laplace
A EDO homogênea de segunda ordem que rege o circuito RLC paralelo (obtida através da LKC no nó e derivando em relação ao tempo) é:
$$\frac{d^2v(t)}{dt^2} + \frac{1}{RC}\frac{dv(t)}{dt} + \frac{1}{LC}v(t) = 0$$As condições iniciais (C.I.) de energia armazenada no instante $t = 0^+$ são definidas pelos componentes armazenadores:
- Tensão inicial no capacitor: $v(0) = V_0$
- Corrente inicial no indutor: $i_L(0) = I_0$
A Derivada Inicial ($\dot{v}(0)$)
Para resolver a EDO via Laplace, precisaremos da taxa de variação inicial da tensão. Avaliando a LKC ($i_R + i_L + i_C = 0$) no exato instante $t = 0^+$:
$$\frac{v(0)}{R} + i_L(0) + C\frac{dv(0)}{dt} = 0$$ $$\frac{V_0}{R} + I_0 + C\dot{v}(0) = 0$$ $$\dot{v}(0) = -\frac{V_0}{RC} - \frac{I_0}{C}$$1. Aplicando a Transformada de Laplace na EDO
Utilizando a propriedade da transformada da derivada e as condições iniciais deduzidas, mapeamos o sistema para o domínio complexo $s$:
- $\mathcal{L}\{v(t)\} = V(s)$
- $\mathcal{L}\{\dot{v}(t)\} = sV(s) - v(0) = sV(s) - V_0$
- $\mathcal{L}\{\ddot{v}(t)\} = s^2V(s) - sv(0) - \dot{v}(0) = s^2V(s) - sV_0 - \!\left(-\dfrac{V_0}{RC} - \dfrac{I_0}{C}\right)$
Substituindo esses três termos diretamente na EDO original:
$$\left[s^2V(s) - sV_0 + \frac{V_0}{RC} + \frac{I_0}{C}\right] + \frac{1}{RC}\left[sV(s) - V_0\right] + \frac{1}{LC}\left[V(s)\right] = 0$$2. Isolando $V(s)$ no Domínio da Frequência
Expandindo os colchetes para agrupar e isolar a função algébrica $V(s)$:
$$s^2V(s) - sV_0 + \frac{V_0}{RC} + \frac{I_0}{C} + \frac{s}{RC}V(s) - \frac{V_0}{RC} + \frac{1}{LC}V(s) = 0$$Observe que a parcela proveniente da derivada inicial $\left(+\dfrac{V_0}{RC}\right)$ cancela perfeitamente o termo gerado pela expansão de $\dfrac{1}{RC}\left[sV(s) - V_0\right]$ $\left(-\dfrac{V_0}{RC}\right)$. Agrupando os termos de $V(s)$ e passando as energias iniciais para o outro lado:
$$V(s)\!\left(s^2 + \frac{1}{RC}\,s + \frac{1}{LC}\right) - sV_0 + \frac{I_0}{C} = 0$$ $$V(s)\!\left(s^2 + \frac{1}{RC}\,s + \frac{1}{LC}\right) = sV_0 - \frac{I_0}{C}$$Isolando $V(s)$, alcançamos a forma canônica exata da resposta do circuito:
$$V(s) = \frac{sV_0 - \dfrac{I_0}{C}}{s^2 + \dfrac{1}{RC}\,s + \dfrac{1}{LC}}$$
1. Transformação do Circuito para o Domínio de Laplace
No domínio do tempo, o circuito RLC paralelo possui três elementos passivos conectados em paralelo. Para trabalhar no domínio de Laplace, cada componente é substituído pelo seu equivalente algébrico em $s$. Elementos armazenadores de energia com condições iniciais não nulas introduzem fontes de corrente independentes que representam essa energia no instante $t = 0^+$:
- Resistor $R$: Representado diretamente pela sua impedância $R$ (sem fontes adicionais, pois não armazena energia).
- Indutor $L$ com corrente inicial $I_0$: Representado pela impedância $sL$ em paralelo com uma fonte de corrente $\dfrac{I_0}{s}$, com corrente saindo do nó superior.
- Capacitor $C$ com tensão inicial $V_0$: Representado pela impedância $\dfrac{1}{sC}$ em paralelo com uma fonte de corrente $C\,V_0$, com corrente entrando no nó superior.
2. Determinação da Fonte de Corrente Equivalente $I(s)$
Pela LKC no nó superior, a corrente líquida injetada é a soma algébrica das duas fontes. Adotando como positivo o sentido entrante no nó:
- Capacitor injeta $+C\,V_0$ no nó superior.
- Indutor drena $-\dfrac{I_0}{s}$ do nó superior.
A fonte de corrente equivalente resultante é:
$$I(s) = C\,V_0 - \frac{I_0}{s}$$3. Cálculo da Impedância Equivalente $Z_{eq}(s)$
As três impedâncias ($R$, $sL$ e $\dfrac{1}{sC}$) estão em paralelo. Calculamos $Z_{eq}(s)$ combinando-as em etapas:
Etapa 3.1 — Associação $sL \parallel \dfrac{1}{sC}$
$$Z_{eq}(s) = R \parallel sL \parallel \frac{1}{sC}$$Iniciando com o paralelo entre indutor e capacitor:
$$sL \parallel \frac{1}{sC} = \frac{sL\cdot\dfrac{1}{sC}}{sL + \dfrac{1}{sC}} = \frac{\dfrac{L}{C}}{\dfrac{s^2LC+1}{sC}} = \frac{sL}{s^2LC+1}$$Etapa 3.2 — Associação $R \parallel \dfrac{sL}{s^2LC+1}$
Associando o resultado anterior com $R$:
$$Z_{eq}(s) = \frac{sL}{s^2LC+1} \parallel R = \frac{R \cdot \dfrac{sL}{s^2LC+1}}{R + \dfrac{sL}{s^2LC+1}} = \frac{sRL}{RLC\,s^2 + sL + R}$$Etapa 3.3 — Forma Canônica (divisão por $RLC$)
Dividindo numerador e denominador por $RLC$:
$$Z_{eq}(s) = \frac{s\,\dfrac{1}{C}}{s^2 + s\,\dfrac{1}{RC} + \dfrac{1}{LC}}$$4. Obtendo $V(s)$ pela Lei de Ohm no Domínio da Frequência
Com $Z_{eq}(s)$ e $I(s)$ determinados, a tensão no nó é obtida pela Lei de Ohm generalizada $V(s) = Z_{eq}(s)\cdot I(s)$:
$$V(s) = \left(\frac{s\,\dfrac{1}{C}}{s^2 + s\,\dfrac{1}{RC} + \dfrac{1}{LC}}\right)\cdot\left(C\,V_0 - \frac{I_0}{s}\right)$$Expandindo o produto no numerador:
$$V(s) = \frac{s\,\dfrac{1}{C}\cdot C\,V_0 \;-\; s\,\dfrac{1}{C}\cdot\dfrac{I_0}{s}}{s^2 + s\,\dfrac{1}{RC} + \dfrac{1}{LC}} = \frac{s\,V_0 - \dfrac{I_0}{C}}{s^2 + s\,\dfrac{1}{RC} + \dfrac{1}{LC}}$$Este resultado é idêntico ao obtido pelo método da EDO, confirmando a coerência entre os dois métodos de análise:
$$\boxed{V(s) = \frac{s\cdot V_0 - \dfrac{I_0}{C}}{s^2 + s\,\dfrac{1}{RC} + \dfrac{1}{LC}}}$$3. Análise dos Polos do Sistema
Para entender como a tensão vai decair ou oscilar, precisamos encontrar as raízes do denominador de $V(s)$, que formam a equação característica do sistema. Igualando o denominador a zero:
$$s^2 + \frac{1}{RC}\,s + \frac{1}{LC} = 0$$3.1 Encontrando os Coeficientes para Bhaskara
Esta é uma equação do segundo grau no formato genérico $as^2 + bs + c_{const} = 0$. Comparando termo a termo, identificamos os coeficientes:
- $a = 1$
- $b = \dfrac{1}{RC}$ (Termo de amortecimento — dissipação pelo resistor)
- $c_{const} = \dfrac{1}{LC}$ (Termo de oscilação — interação reativa entre indutor e capacitor)
3.2 Aplicando a Fórmula de Bhaskara Modificada
Como o coeficiente $a = 1$, podemos utilizar a forma simplificada de Bhaskara para encontrar os polos $p_1$ e $p_2$:
$$p_{1,2} = -\frac{b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 - c_{const}}$$Substituindo os nossos parâmetros elétricos nesta equação:
$$p_{1,2} = -\dfrac{\frac{1}{RC}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\frac{1}{RC}}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{LC}}$$ $$p_{1,2} = -\dfrac{1}{2RC} \pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{2RC}\right)^2 - \dfrac{1}{LC}}$$3.3 Definindo os Parâmetros Universais ($\alpha$ e $\omega_0$)
Para generalizar a equação e deixá-la independente do domínio físico (mecânico ou elétrico), encapsulamos os parâmetros elétricos nestas duas grandezas clássicas:
- Frequência de Neper ($\alpha$): O fator de amortecimento absoluto, controlado pelo resistor. $$\alpha = \frac{b}{2} \implies \alpha = \frac{1}{2RC}$$
- Frequência Angular de Ressonância ($\omega_0$): A frequência natural não amortecida, determinada pela combinação $LC$. $$\omega_0^2 = c_{const} \implies \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$
Substituindo $\alpha$ e $\omega_0$ de volta na equação dos polos, chegamos à mesma forma canônica universal obtida no sistema mecânico:
$$p_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}$$3.4 Classificação do Tipo de Resposta
O comportamento da tensão $v(t)$ é inteiramente ditado pelo que acontece dentro da raiz quadrada, ou seja, pela relação entre a taxa de dissipação ($\alpha$) e a frequência natural ($\omega_0$).
Temos três cenários físicos e matemáticos possíveis:
| Relação Matemática | Natureza dos Polos ($p_1$, $p_2$) | Tipo de Resposta Dinâmica |
|---|---|---|
| $\alpha^2 > \omega_0^2$ | Raízes reais distintas | Resposta superamortecida |
| $\alpha^2 < \omega_0^2$ | Raízes complexas conjugadas | Resposta subamortecida |
| $\alpha^2 = \omega_0^2$ | Raízes reais e iguais | Resposta criticamente amortecida |
Exemplos Numéricos por Regime
Dados do Circuito
- Resistência: $R = 2\ \Omega$
- Indutância: $L = 625\ \mu\text{H}$
- Capacitância: $C = 25\ \mu\text{F}$
- Tensão inicial: $V_0 = 5\ \text{V}$
- Corrente inicial: $I_0 = 1\ \text{A}$
Passo 1: Cálculo dos Parâmetros Fundamentais
A partir da equação característica do circuito RLC paralelo ($s^2 + \frac{1}{RC}s + \frac{1}{LC} = 0$), identificamos os coeficientes:
- Coeficiente de $s$: $$\frac{1}{RC} = \frac{1}{2 \times 25 \times 10^{-6}} = 20\,000$$
- Termo independente: $$\frac{1}{LC} = \frac{1}{625 \times 10^{-6} \times 25 \times 10^{-6}} = \frac{1}{15{,}625 \times 10^{-9}} = 64\,000\,000$$
Convertendo para as grandezas dinâmicas universais:
- Frequência de Neper ($\alpha$): $$\alpha = \frac{1}{2RC} = \frac{1}{2 \times 2 \times 25 \times 10^{-6}} = 10\,000\ \text{Np/s}$$
- $\alpha^2$: $$\alpha^2 = (10\,000)^2 = 10^8$$
- Frequência Angular de Ressonância ($\omega_0$): $$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{625 \times 10^{-6} \times 25 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{125 \times 10^{-6}} = 8\,000\ \text{rad/s}$$
- $\omega_0^2$: $$\omega_0^2 = (8\,000)^2 = 6{,}4 \times 10^7$$
- Coeficiente de amortecimento ($\zeta$): $$\zeta = \frac{\alpha}{\omega_0} = \frac{10\,000}{8\,000} = 1{,}25$$
Classificação do Sistema: Como $\alpha^2 > \omega_0^2$ ($10^8 > 6{,}4 \times 10^7$) e $\zeta = 1{,}25 > 1$, o circuito é Superamortecido. A dissipação pelo resistor é suficientemente intensa para impedir qualquer oscilação de tensão no nó.
Passo 2: Cálculo dos Polos ($p_1, p_2$)
Aplicamos a fórmula dos polos ($p_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2}$):
$$\Delta = \alpha^2 - \omega_0^2 = 10^8 - 6{,}4 \times 10^7 = 3{,}6 \times 10^7$$ $$\sqrt{\Delta} = \sqrt{3{,}6 \times 10^7} = 6\,000$$ $$p_{1,2} = -10\,000 \pm 6\,000$$Obtemos dois polos reais, negativos e distintos:
- Polo 1: $p_1 = -10\,000 + 6\,000 = -4\,000\ \text{Np/s}$ (polo dominante — modo lento)
- Polo 2: $p_2 = -10\,000 - 6\,000 = -16\,000\ \text{Np/s}$ (polo rápido — modo transitório)
Passo 3: Montagem de $V(s)$
A expressão geral deduzida anteriormente é:
$$V(s) = \frac{s\,V_0 - \dfrac{I_0}{C}}{s^2 + \dfrac{1}{RC}\,s + \dfrac{1}{LC}}$$Calculamos primeiro a contribuição da corrente inicial no numerador:
$$\frac{I_0}{C} = \frac{1}{25 \times 10^{-6}} = 40\,000$$Substituindo $V_0 = 5$, $\dfrac{I_0}{C} = 40\,000$ e os coeficientes encontrados:
$$V(s) = \frac{5s - 40\,000}{s^2 + 20\,000\,s + 64\,000\,000}$$Fatorando o denominador pelos polos $(s - p_1)(s - p_2)$:
$$V(s) = \frac{5s - 40\,000}{(s + 4\,000)\,(s + 16\,000)}$$Passo 4: Expansão em Frações Parciais
Para aplicar a transformada inversa, decompomos em frações simples:
$$V(s) = \frac{5s - 40\,000}{(s+4000)(s+16000)} = \frac{A}{s+4000} + \frac{B}{s+16000}$$Pelo método dos resíduos de Heaviside:
Cálculo de $A$ — avaliado no polo $s = -4\,000$:
$$A = \left.\frac{5s - 40\,000}{s + 16\,000}\right|_{s=-4000} = \frac{5(-4000) - 40000}{-4000 + 16000} = \frac{-60\,000}{12\,000} = -5$$Cálculo de $B$ — avaliado no polo $s = -16\,000$:
$$B = \left.\frac{5s - 40\,000}{s + 4\,000}\right|_{s=-16000} = \frac{5(-16000) - 40000}{-16000 + 4000} = \frac{-120\,000}{-12\,000} = 10$$Substituindo $A = -5$ e $B = 10$:
$$V(s) = \frac{-5}{s+4\,000} + \frac{10}{s+16\,000}$$Passo 5: Transformada Inversa e Equação de $v(t)$
Aplicando $\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{K}{s+p}\right\} = K\,e^{-pt}$ a cada termo, obtemos a equação horária exata da tensão no nó:
$$\boxed{v(t) = -5\,e^{-4000\,t} + 10\,e^{-16000\,t}\ \text{V}}$$Verificamos a consistência com as condições iniciais:
- Tensão em $t = 0$: $v(0) = -5 + 10 = 5\ \text{V} = V_0\ \checkmark$
- Taxa de variação em $t = 0$: $$\dot{v}(0) = -5 \times (-4000) + 10 \times (-16000) = 20\,000 - 160\,000 = -140\,000\ \text{V/s}$$ Via LKC: $\dot{v}(0) = -\dfrac{V_0}{RC} - \dfrac{I_0}{C} = -100\,000 - 40\,000 = -140\,000\ \text{V/s}\ \checkmark$
Interpretação do Resultado
No domínio de Laplace, os polos do circuito RLC paralelo superamortecido são reais, negativos e distintos, situados inteiramente no eixo real do plano $s$. Isso confirma que a tensão decai de forma puramente exponencial, sem qualquer componente oscilatória. A unidade dos polos é Np/s, a mesma da frequência de Neper $\alpha$.
1. Distinção Conceitual: $\alpha$ (Causa) versus Polos (Efeito)
- Frequência de Neper ($\alpha$): Propriedade global do circuito definida por $\alpha = \dfrac{1}{2RC} = 10\,000\ \text{Np/s}$. Representa a capacidade média de dissipação do resistor.
- Polos $p_1$ e $p_2$: Modos efetivos pelos quais o circuito dissipa a energia armazenada. $\alpha$ é geometricamente o ponto médio exato entre os dois polos: $$p_{1,2} = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^2 - \omega_0^2} = -10\,000 \pm 6\,000$$ O circuito distribui a dissipação em um modo lento ($p_1 = -4\,000\ \text{Np/s}$) e um modo rápido ($p_2 = -16\,000\ \text{Np/s}$).
2. Interpretação Física: A Superposição das Exponenciais
Ao se liberar a tensão $V_0 = 5\ \text{V}$ no capacitor e a corrente $I_0 = 1\ \text{A}$ no indutor, a tensão no nó é a superposição de dois modos de decaimento independentes:
- Modo rápido ($p_2 = -16\,000\ \text{Np/s}$): A exponencial $+10\,e^{-16000t}$ decai em menos de $0{,}5\ \text{ms}$. Fisicamente, a corrente $I_0 = 1\ \text{A}$ no indutor, ao drenar carga do capacitor para o nó, suprime rapidamente o excesso de tensão e domina o comportamento imediato do circuito.
- Modo lento ($p_1 = -4\,000\ \text{Np/s}$): A exponencial $-5\,e^{-4000t}$, embora de amplitude menor, decai mais vagarosamente e determina o tempo de acomodação total. Representa a fase final em que a energia remanescente é gradualmente consumida pelo resistor.
O coeficiente negativo $A = -5$ não implica tensão negativa em $t = 0$; a interação entre os dois modos garante $v(0) = -5 + 10 = 5\ \text{V} = V_0$. A tensão decai de forma monotônica e assintoticamente para zero sem oscilar.
O Conceito de Polo Dominante
O polo dominante é $p_1 = -4\,000\ \text{Np/s}$, pois possui o menor módulo de parte real. O polo rápido ($p_2 = -16\,000\ \text{Np/s}$) torna-se praticamente desprezível após $\approx 0{,}3\ \text{ms}$; a partir daí, o circuito se comporta como um sistema de primeira ordem governado exclusivamente por $p_1$. O tempo de acomodação total é ditado por $5/|p_1| = 1{,}25\ \text{ms}$. Em outras palavras, o circuito nunca estabilizará mais rapidamente do que a sua exponencial mais lenta.
Dados do Circuito
- Resistência: $R = 2{,}5\ \Omega$
- Indutância: $L = 800\ \mu\text{H}$
- Capacitância: $C = 50\ \mu\text{F}$
- Tensão inicial: $V_0 = 3\ \text{V}$
- Corrente inicial: $I_0 = 0\ \text{A}$
Passo 1: Cálculo dos Parâmetros Fundamentais
A partir da equação característica ($s^2 + \frac{1}{RC}s + \frac{1}{LC} = 0$), identificamos os coeficientes:
- Coeficiente de $s$: $$\frac{1}{RC} = \frac{1}{2{,}5 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{125 \times 10^{-6}} = 8\,000$$
- Termo independente: $$\frac{1}{LC} = \frac{1}{800 \times 10^{-6} \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{40 \times 10^{-9}} = 25\,000\,000$$
Convertendo para as grandezas dinâmicas universais:
- Frequência de Neper ($\alpha$): $$\alpha = \frac{1}{2RC} = \frac{1}{2 \times 2{,}5 \times 50 \times 10^{-6}} = 4\,000\ \text{Np/s}$$
- $\alpha^2$: $$\alpha^2 = (4\,000)^2 = 1{,}6 \times 10^7$$
- Frequência Angular de Ressonância ($\omega_0$): $$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{800 \times 10^{-6} \times 50 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{40 \times 10^{-9}}} = 5\,000\ \text{rad/s}$$
- $\omega_0^2$: $$\omega_0^2 = (5\,000)^2 = 2{,}5 \times 10^7$$
- Coeficiente de amortecimento ($\zeta$): $$\zeta = \frac{\alpha}{\omega_0} = \frac{4\,000}{5\,000} = 0{,}8$$
Classificação do Sistema: Como $\alpha^2 < \omega_0^2$ ($1{,}6 \times 10^7 < 2{,}5 \times 10^7$) e $\zeta = 0{,}8 < 1$, o circuito é Subamortecido. O discriminante de Bhaskara é negativo, resultando em polos complexos conjugados e uma tensão oscilatória amortecida.
Passo 2: Cálculo dos Polos ($p_1, p_2$)
Com o discriminante negativo, introduzimos a frequência natural amortecida $\omega_d$:
$$\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2} = \sqrt{2{,}5 \times 10^7 - 1{,}6 \times 10^7} = \sqrt{9 \times 10^6} = 3\,000\ \text{rad/s}$$Os polos na forma complexa canônica $p_{1,2} = -\alpha \pm j\omega_d$ são:
$$p_{1,2} = -4\,000 \pm j\,3\,000$$- Polo 1: $p_1 = -4\,000 + j\,3\,000$
- Polo 2: $p_2 = -4\,000 - j\,3\,000$
Passo 3: Montagem de $V(s)$
Com $I_0 = 0$, o numerador de $V(s)$ simplifica-se:
$$V(s) = \frac{s\,V_0 - \dfrac{I_0}{C}}{s^2 + \dfrac{1}{RC}\,s + \dfrac{1}{LC}} = \frac{3s}{s^2 + 8\,000\,s + 25\,000\,000}$$Fatorando o denominador pelos polos complexos encontrados no Passo 2:
$$V(s) = \frac{3s}{(s - p_1)(s - p_2)} = \frac{3s}{(s + 4\,000 - j\,3\,000)\,(s + 4\,000 + j\,3\,000)}$$Passo 4: Expansão em Frações Parciais
Etapa 1 — Frações Parciais e Cálculo dos Resíduos ($K_1$ e $K_2$):
Expressamos $V(s)$ na forma fatorada e estabelecemos a decomposição:
$$V(s) = \frac{3s}{(s - p_1)(s - p_2)} = \frac{K_1}{s - p_1} + \frac{K_2}{s - p_2}$$Pelo método dos resíduos de Heaviside:
Cálculo de $K_1$ — avaliamos no polo $s = p_1 = -4\,000 + j\,3\,000$:
$$K_1 = \left.\frac{3s}{s - p_2}\right|_{s\,=\,p_1} = \frac{3(-4\,000 + j\,3\,000)}{(-4\,000 + j\,3\,000) - (-4\,000 - j\,3\,000)}$$ $$K_1 = \frac{-12\,000 + j\,9\,000}{j\,6\,000}$$Multiplicando numerador e denominador por $-j$ para eliminar a unidade imaginária do denominador:
$$K_1 = \frac{(-12\,000 + j\,9\,000)(-j)}{j\,6\,000\cdot(-j)} = \frac{12\,000j + 9\,000}{6\,000} = \mathbf{1{,}5 + j\,2}$$Cálculo de $K_2$: como todos os coeficientes da equação original são reais, $K_2$ é obrigatoriamente o conjugado complexo de $K_1$:
$$K_2 = \overline{K_1} = \mathbf{1{,}5 - j\,2}$$Conversão para a Forma Polar ($M e^{j\theta}$):
Módulo ($M$):
$$M = \sqrt{(1{,}5)^2 + 2^2} = \sqrt{2{,}25 + 4} = \sqrt{6{,}25} = \mathbf{2{,}5}$$Fase ($\theta$) — como a parte real e a parte imaginária de $K_1$ são ambas positivas (1.º quadrante):
$$\theta = \arctan\!\left(\frac{2}{1{,}5}\right) = \arctan\!\left(\frac{4}{3}\right) \cong \mathbf{53{,}13°}$$Portanto, os resíduos em forma polar são:
$$K_1 = 2{,}5\,e^{+j53{,}13°} \qquad K_2 = 2{,}5\,e^{-j53{,}13°}$$Etapa 2 — Montagem de $V(s)$ e Transformada Inversa:
Substituindo os resíduos polares e os polos na expansão e aplicando $\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{K}{s-p}\right\} = K\,e^{\,pt}$ termo a termo:
$$V(s) = \frac{2{,}5\,e^{+j53{,}13°}}{s - (-4\,000 + j\,3\,000)} + \frac{2{,}5\,e^{-j53{,}13°}}{s - (-4\,000 - j\,3\,000)}$$ $$v(t) = 2{,}5\,e^{+j53{,}13°}\cdot e^{(-4000+j3000)t} + 2{,}5\,e^{-j53{,}13°}\cdot e^{(-4000-j3000)t}$$Etapa 3 — Manipulação Algébrica e Identidade de Euler:
Separamos o decaimento real da oscilação imaginária e colocamos os termos comuns ($2{,}5$ e $e^{-4000t}$) em evidência:
$$v(t) = 2{,}5\cdot e^{-4000t}\left(e^{+j53{,}13°}\cdot e^{+j3000t} + e^{-j53{,}13°}\cdot e^{-j3000t}\right)$$Somando os expoentes de mesma base:
$$v(t) = 2{,}5\cdot e^{-4000t}\left(e^{\,j(3000t\,+\,53{,}13°)} + e^{-j(3000t\,+\,53{,}13°)}\right)$$Aplicando a Identidade de Euler $\left(e^{jx} + e^{-jx} = 2\cos x\right)$:
$$v(t) = 2{,}5\cdot e^{-4000t}\cdot 2\cos\!\left(3000t + 53{,}13°\right)$$Passo 5: Transformada Inversa e Equação de $v(t)$
Multiplicando o módulo pelo fator 2, chegamos à equação horária final da tensão no capacitor:
$$\boxed{v(t) = 5\,e^{-4000\,t}\cos(3000\,t + 53{,}13°)\ \text{V}}$$Verificamos a consistência com as condições iniciais:
- Tensão em $t = 0$: $v(0) = 5\cos(53{,}13°) = 5 \times 0{,}6 = 3\ \text{V} = V_0\ \checkmark$
- Taxa de variação em $t = 0$: via LKC, $$\dot{v}(0) = -\frac{V_0}{RC} - \frac{I_0}{C} = -\frac{3}{2{,}5 \times 50 \times 10^{-6}} - 0 = -24\,000\ \text{V/s}$$ e pela derivada de $v(t)$ em $t = 0$: confirmado $-24\,000\ \text{V/s}\ \checkmark$
Interpretação do Resultado
No domínio de Laplace, polos complexos conjugados com parte real estritamente negativa são a assinatura inequívoca do regime subamortecido. A parte real $\sigma = -\alpha = -4\,000\ \text{Np/s}$ governa o decaimento exponencial da amplitude, enquanto a parte imaginária $\omega_d = 3\,000\ \text{rad/s}$ governa a frequência de oscilação amortecida — distinguindo o comportamento oscilatório do caso superamortecido.
1. Os Três Ingredientes da Resposta Subamortecida
A equação $v(t) = 5\,e^{-4000t}\cos(3000t + 53{,}13°)$ é composta por três fatores com significados físicos distintos:
- Amplitude inicial ($5\ \text{V}$): Ligeiramente superior a $V_0 = 3\ \text{V}$. A diferença é imposta pelo ângulo de fase $\phi = 53{,}13°$: em $t = 0$, o cosseno não vale 1, mas $\cos(53{,}13°) = 0{,}6$. Assim, $v(0) = 5 \times 0{,}6 = 3\ \text{V} = V_0\ \checkmark$.
- Envoltória de decaimento ($e^{-\alpha t} = e^{-4000t}$): Controlada por $\alpha = 4\,000\ \text{Np/s}$. Delimita a amplitude máxima da oscilação ao longo do tempo. Pelo critério das cinco constantes de tempo, a tensão estabiliza-se em $\approx 5/\alpha = 1{,}25\ \text{ms}$.
- Oscilação amortecida ($\cos(\omega_d t + \phi)$): Com $\omega_d = 3\,000\ \text{rad/s}$, o período de oscilação é $T = 2\pi/3000 \approx 2{,}09\ \text{ms}$. O amortecimento $\zeta = 0{,}8$ é significativo: a tensão oscila apenas poucas vezes antes de atingir o regime estacionário.
2. A Origem da Fase $\phi = 53{,}13°$ e Verificação das Condições Iniciais
Com $I_0 = 0$, a derivada inicial é determinada exclusivamente pela tensão inicial e pelo amortecimento. Demonstra-se que:
$$\phi = \arctan\!\left(\frac{\alpha}{\omega_d}\right) = \arctan\!\left(\frac{4\,000}{3\,000}\right) = \arctan\!\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53{,}13°$$O ângulo é, portanto, uma medida de quão dominante é o amortecimento frente à oscilação: quanto maior $\alpha/\omega_d$, mais a fase se afasta de zero e mais a resposta inicial se distancia de um cosseno puro. Com $\zeta = 0{,}8$, o ângulo de fase é expressivo, indicando um sistema com amortecimento considerável.
Tempo de Acomodação e Frequências: $\omega_0$ versus $\omega_d$
A frequência de oscilação real do circuito é $\omega_d = 3\,000\ \text{rad/s}$, que é inferior à frequência natural $\omega_0 = 5\,000\ \text{rad/s}$. A relação entre elas é:
$$\omega_d = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2} = 5\,000\sqrt{1 - 0{,}64} = 5\,000 \times 0{,}6 = 3\,000\ \text{rad/s}$$O amortecimento reduz a frequência de oscilação em $40\%$ em relação ao ideal. Como ambos os polos partilham a mesma parte real $\sigma = -\alpha$, não existe um polo dominante no sentido estrito — o tempo de acomodação é ditado diretamente por $\alpha = 4\,000\ \text{Np/s}$.
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